十二平均律的理性推导(2)

黑 线是只有一个人的情况，蓝线是两个人，红线是十个人。这个情况可非常恐怖了。振幅随着人数的增加迅速增长。大家注意，桥的固有频率的振幅其实不是很高，就 算桥的频率没有和人行进的频率产生倍频的关系，但毕竟人多力量大，叠加的结果其实也差不多，不信大家自己吧y=sin(x)随便改成一个三角函数，做出来 的图跟上面的那个没什么区别。士兵们在行进的过程中传达给桥的能量是和振幅正相关的。那么桥上的人越多给出的能量就越大，一旦这个能量超出了桥的承受范 围，哼哼！那就有好戏看了。 这里同时也说明了一个问题，音乐中的共振关系，倍频的时候总是让人感到更和谐，更亢奋，就是因为振幅的叠加造成的。二、十二平均律的设计关于十二平均律， 我们还是不要管是哪位前辈发现或者发明的了。首先一个问题，既然国际的标准是A=440Hz，那么我们不妨用A做例子说说这个问题。从一个A到下一个听着 非常爽非常和谐的位置一定是A的倍频，而A的倍频里面最和谐的一定是A的2倍频和2半频——880Hz和220Hz。在十二平均律里面把这个定为一个八 度。八度的概念一会再说。为什么要设计十二平均律呢，其实就是为了转调方便。大家知道自然音阶是由7个音组成的，我们暂且使用它们的音名CDEFGAB。 然而要想自由转调可不是很容易，因为这7个音之间的间隔是不一样的。好比1,2,4，和2相比1是一半；和4相比2是一半。如果拿2当1的 话，1:2:4=2:4:8。正好谁都用上了。相反，如果是1,2,3，和2相比1是一半；和3相比2可不是一半，如果拿2当1的 话，1:2:3=2:4:6，这样3就用不上了。我们知道自然音阶之间是全全半全全全半的关系，如果半音作为一个单位的话，这之间刚刚好是12个单位。相 反，如果我们用D当做dou的话，还要保证自然音阶的相对关系，那么就不可能像上面的例子里的1,2,4一样，继续往后延伸所有的数字都能用得上。这样在 D大调的时候就不可能用到所有C大调的音。经过循环计算，还是得分成12份。这样说来所有的音之间的关系都确定了，我们假设相邻的音之间的频率比是k。注 意，音和音之间的差别不是频率差而是频率比！

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